四年級奧數(shù)基礎第四講：數(shù)的整除（一）

　　四年級奧數(shù)基礎第四講：數(shù)的整除

　　我們在三年級已經(jīng)學習了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。

　　數(shù)的整除具有如下性質：

　　性質1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

　　性質2 如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

　　性質3 如果一個數(shù)能分別被兩個互質的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9與7互質，那么126能被9×7＝63整除。

　　利用上面關于整除的性質，我們可以解決許多與整除有關的問題。為了進一步學習數(shù)的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數(shù)字特征列出來：

　�。�1）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數(shù)就能被2整除。

　�。�2）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0或5，那么這個數(shù)就能被5整除。

　�。�3）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除。

　　（4）一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個數(shù)就能被4（或25）整除。

　　（5）一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個數(shù)就能被8（或125）整除。

　�。�6）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被9整除，那么這個數(shù)就能被9整除。

　　其中（1）（2）（3）是三年級學過的內容，（4）（5）（6）是本講要學習的內容。

　　因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質2知，只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。

　　類似地可以證明（5）。（6）的正確性，我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。

　　837＝800＋30＋7

　�。�8×100＋3×10＋7

　　＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7

　�。�8×99＋8＋3×9＋3＋7

　�。剑�8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。

　　因為99和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質1和性質2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根據(jù)整除的性質2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判斷837能被9整除。

　　利用（4）（5）（6）還可以求出一個數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：

　　（4＇）一個數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。

　　（5＇）一個數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。

　　（6＇）一個數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。

　　例1 在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？

　　234，789，7756，8865，3728.8064。

　　解：能被4整除的數(shù)有7756，3728，8064；

　　能被8整除的數(shù)有3728，8064；

　　能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。