四年級奧數(shù)基礎(chǔ)第四講：數(shù)的整除（一）(2)

　　例2 在四位數(shù)56□2中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除？

　　解：如果56□2能被9整除，那么

　　5＋6＋□＋2＝13＋□

　　應(yīng)能被9整除，所以當十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除；

　　如果56□2能被8整除，那么6□2應(yīng)能被8整除，所以當十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除；

　　如果56□2能被4整除，那么□2應(yīng)能被4整除，所以當十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。

　　到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學過能被2，3，5，4，8，9整除的數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數(shù)能否被6整除，因為6＝2×3，2與3互質(zhì)，所以如果這個數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個數(shù)能被6整除。同理，判斷一個數(shù)能否被12整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被3和4整除；判斷一個數(shù)能否被72整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除；如此等等。

　　例3 從0，2，5，7四個數(shù)字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進行排列。

　　解：因為組成的三位數(shù)能同時被2，5整除，所以個位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和2＋7＋0與5＋7＋0都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為270，570，720，750。

　　例4 五位數(shù)能被72整除，問：A與B各代表什么數(shù)字？

　　分析與解：已知能被72整除。因為72＝8×9，8和9是互質(zhì)數(shù)，所以既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求能被8整除，由此可確定B＝6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為

　　A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，

　　因為l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在這個范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以A＝7。

　　解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8×9，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論B和A所代表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定B所代表的數(shù)字，因為B代表的數(shù)字不受A的取值大小的影響，一旦B代表的數(shù)字確定下來，A所代表的數(shù)字就容易確定了。