四年級奧數(shù)基礎(chǔ)第十六講：數(shù)陣圖（一）

來源：大連奧數(shù)網(wǎng)整理 2012-02-07 16:23:55

　　四年級奧數(shù)基礎(chǔ)包括很多題型，為了幫助小學四年級的孩子學習奧數(shù)，大連奧數(shù)網(wǎng)整理了小學四年級奧數(shù)基礎(chǔ)講義。下面是四年級奧數(shù)基礎(chǔ)第十六講：數(shù)陣圖（一）。有例題有練習，大家一起來學習吧！

　　四年級奧數(shù)基礎(chǔ)第十六講：數(shù)陣圖（一）

　　我們在三年級已經(jīng)學習過輻射型和封閉型數(shù)陣，其解題的關(guān)鍵在于“重疊數(shù)”。本講和下一講，我們學習三階方陣，就是將九個數(shù)按照某種要求排列成三行三列的數(shù)陣圖，解題的關(guān)鍵仍然是“重疊數(shù)”。我們先從一道典型的例題開始。

　　例1 把1～9這九個數(shù)字填寫在右圖正方形的九個方格中，使得每一橫行、每一豎列和每條對角線上的三個數(shù)之和都相等。

　　分析與解：我們首先要弄清每行、每列以及每條對角線上三個數(shù)字之和是幾。我們可以這樣去想：因為1～9這九個數(shù)字之和是45，正好是三個橫行數(shù)字之和，所以每一橫行的數(shù)字之和等于45÷3=15。也就是說，每一橫行、每一豎列以及每條對角線上三個數(shù)字之和都等于15。

　　在1～9這九個數(shù)字中，三個不同的數(shù)相加等于15的有：

　　9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，

　　8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。

　　因此每行、每列以及每條對角線上的三個數(shù)字可以是其中任一個算式中的三個數(shù)字。

　　因為中心方格中的數(shù)既在一個橫行中，又在一個豎列中，還在兩對角線上，所以它應(yīng)同時出現(xiàn)在上述的四個算式中，只有5符合條件，因此應(yīng)將5填在中心方格中。同理，四個角上的數(shù)既在一個橫行中，又在一個豎列中，還在一條對角線上，所以它應(yīng)同時出現(xiàn)在上述的三個算式中，符合條件的有2，4，6，8，因此應(yīng)將2，4，6，8填在四個角的方格中，同時應(yīng)保證對角線兩數(shù)的和相等。經(jīng)試驗，有下面八種不同填法：

　　上面的八個圖，都可以通過一個圖的旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)得到。例如，第一行的后三個圖，依次由第一個圖順時針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°得到。又如，第二行的各圖，都是由它上面的圖沿豎軸翻轉(zhuǎn)得到。所以，這八個圖本質(zhì)上是相同的，可以看作是一種填法。

　　例1中的數(shù)陣圖，我國古代稱為“縱橫圖”、“九宮算”。一般地，將九個不同的數(shù)填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎列和每條對角線上的三個數(shù)之和都相等，那么這樣的圖稱為三階幻方。

　　在例1中如果只要求任一橫行及任一豎列的三數(shù)之和相等，而不要求兩條對角線上的三數(shù)之和也相等，則解不唯一，這是因為在例1的解中，任意交換兩行或兩列的位置，不影響每行或每列的三數(shù)之和，故仍然是解。

　　例2 用11，13，15，17，19，21，23，25，27編制成一個三階幻方。

　　分析與解：給出的九個數(shù)形成一個等差數(shù)列，對照例1，1～9也是一個等差數(shù)列。不難發(fā)現(xiàn)：中間方格里的數(shù)字應(yīng)填等差數(shù)列的第五個數(shù)，即應(yīng)填19；填在四個角上方格中的數(shù)是位于偶數(shù)項的數(shù)，即13，17，21，25，而且對角兩數(shù)的和相等，即13＋25=17＋21；余下各數(shù)就不難填寫了（見右圖）。

　　與幻方相反的問題是反幻方。將九個數(shù)填入3×3（三行三列）的九個方格中，使得任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數(shù)之和互不相同，這樣填好后的圖稱為三階反幻方。

　　例3 將前9個自然數(shù)填入右圖的9個方格中，使得任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數(shù)之和互不相同，并且相鄰的兩個自然數(shù)在圖中的位置也相鄰。