四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)第五講：棄九法(2)

　　例1 求多位數(shù)7645821369815436715除以9的余數(shù)。

　　分析與解：利用棄九法，將和為9的數(shù)依次劃掉。

   

　　只剩下7，6，1，5四個(gè)數(shù)，這時(shí)口算一下即可。口算知，7，6，5的和是9的倍數(shù)，又可劃掉，只剩下1。所以這個(gè)多位數(shù)除以9余1。

　　例2 將自然數(shù)1，2，3，…依次無(wú)間隔地寫下去組成一個(gè)數(shù)1234567891011213…如果一直寫到自然數(shù)100，那么所得的數(shù)除以9的余數(shù)是多少？

　　分析與解：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)太大，全部寫出來(lái)很麻煩，在使用棄九法時(shí)不能逐個(gè)劃掉和為9或9的倍數(shù)的數(shù)，所以要配合適當(dāng)?shù)姆治�。我們已�?jīng)熟知

　　1＋2＋3＋…＋9＝45，

　　而45是9的倍數(shù)，所以每一組1，2，3，…，9都可以劃掉。在1～99這九十九個(gè)數(shù)中，個(gè)位數(shù)有十組1，2，3，…，9，都可劃掉；十位數(shù)也有十組1，2，3，…，9，也都劃掉。這樣在這個(gè)大數(shù)中，除了0以外，只剩下最后的100中的數(shù)字1。所以這個(gè)數(shù)除以9余1。

　　在上面的解法中，并沒(méi)有計(jì)算出這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡(jiǎn)捷的解法。因?yàn)橐粋�(gè)數(shù)與它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同，所以題中這個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和，與1＋2＋…＋100除以9的余數(shù)相同。

　　利用高斯求和法，知此和是5050。因?yàn)?050的數(shù)字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個(gè)9余1，故5050除以9余1。因此題中的數(shù)除以9余1。

　　例3 檢驗(yàn)下面的加法算式是否正確：

　　2638457＋3521983＋6745785＝12907225。

　　分析與解：若干個(gè)加數(shù)的九余數(shù)相加，所得和的九余數(shù)應(yīng)當(dāng)?shù)扔谶@些加數(shù)的和的九余數(shù)。如果不等，那么這個(gè)加法算式肯定不正確。上式中，三個(gè)加數(shù)的九余數(shù)依次為8，4，6，8+4+6的九余數(shù)為0；和的九余數(shù)為1。因?yàn)?≠1，所以這個(gè)算式不正確。