四年級奧數基礎第五講：棄九法(2)

　　例1 求多位數7645821369815436715除以9的余數。

　　分析與解：利用棄九法，將和為9的數依次劃掉。

   

　　只剩下7，6，1，5四個數，這時口算一下即可�？谒阒�，7，6，5的和是9的倍數，又可劃掉，只剩下1。所以這個多位數除以9余1。

　　例2 將自然數1，2，3，…依次無間隔地寫下去組成一個數1234567891011213…如果一直寫到自然數100，那么所得的數除以9的余數是多少？

　　分析與解：因為這個數太大，全部寫出來很麻煩，在使用棄九法時不能逐個劃掉和為9或9的倍數的數，所以要配合適當的分析。我們已經熟知

　　1＋2＋3＋…＋9＝45，

　　而45是9的倍數，所以每一組1，2，3，…，9都可以劃掉。在1～99這九十九個數中，個位數有十組1，2，3，…，9，都可劃掉；十位數也有十組1，2，3，…，9，也都劃掉。這樣在這個大數中，除了0以外，只剩下最后的100中的數字1。所以這個數除以9余1。

　　在上面的解法中，并沒有計算出這個數各個數位上的數字和，而是利用棄九法分析求解。本題還有其它簡捷的解法。因為一個數與它的各個數位上的數字之和除以9的余數相同，所以題中這個數各個數位上的數字之和，與1＋2＋…＋100除以9的余數相同。

　　利用高斯求和法，知此和是5050。因為5050的數字和為5＋0＋5＋0=10，利用棄九法，棄去一個9余1，故5050除以9余1。因此題中的數除以9余1。

　　例3 檢驗下面的加法算式是否正確：

　　2638457＋3521983＋6745785＝12907225。

　　分析與解：若干個加數的九余數相加，所得和的九余數應當等于這些加數的和的九余數。如果不等，那么這個加法算式肯定不正確。上式中，三個加數的九余數依次為8，4，6，8+4+6的九余數為0；和的九余數為1。因為0≠1，所以這個算式不正確。