四年級奧數(shù)基礎(chǔ)第六講：數(shù)的整除（二）

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　　四年級奧數(shù)基礎(chǔ)第六講：數(shù)的整除（二）

　　這一講主要講能被11整除的數(shù)的特征。

　　一個數(shù)從右邊數(shù)起，第1，3，5，…位稱為奇數(shù)位，第2，4，6，…位稱為偶數(shù)位。也就是說，個位、百位、萬位……是奇數(shù)位，十位、千位、十萬位……是偶數(shù)位。例如9位數(shù)768325419中，奇數(shù)位與偶數(shù)位如下圖所示：

   

　　能被11整除的數(shù)的特征：一個數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大數(shù)減小數(shù)）如果能被11整除，那么這個數(shù)就能被11整除。

　　例1 判斷七位數(shù)1839673能否被11整除。

　　分析與解：奇數(shù)位上的數(shù)字之和為1＋3＋6＋3=13，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為8＋9＋7=24，因為24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。

　　根據(jù)能被11整除的數(shù)的特征，也能求出一個數(shù)除以11的余數(shù)。

　　一個數(shù)除以11的余數(shù)，與它的奇數(shù)位上的數(shù)字之和減去偶數(shù)位上的數(shù)字之和所得的差除以11的余數(shù)相同。如果奇數(shù)位上的數(shù)字之和小于偶數(shù)位上的數(shù)字之和，那么應(yīng)在奇數(shù)位上的數(shù)字之和上再增加11的整數(shù)倍，使其大于偶數(shù)位上的數(shù)字之和。

　　例2 求下列各數(shù)除以11的余數(shù)：

　　（1）41873； （2）296738185。

　　分析與解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11

　　=7÷11＝0……7，

　　所以41873除以11的余數(shù)是7。

　�。�2）奇數(shù)位之和為2＋6＋3＋1＋5=17，偶數(shù)位之和為9＋7＋8＋8＝32。因為17＜32，所以應(yīng)給17增加11的整數(shù)倍，使其大于32。

　�。�17+11×2）-32＝7，

　　所以296738185除以11的余數(shù)是7。

　　需要說明的是，當(dāng)奇數(shù)位數(shù)字之和遠遠小于偶數(shù)位數(shù)字之和時，為了計算方便，也可以用偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和，再除以11，所得余數(shù)與11的差即為所求。如上題（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余數(shù)是11-4=7。

　　例3 求除以11的余數(shù)。

　　分析與解：奇數(shù)位是101個1，偶數(shù)位是100個9。

　�。�9×100-1×101）÷11

　　=799÷11=72……7，

　　11-7=4，所求余數(shù)是4。

　　例3還有其它簡捷解法，例如每個“19”奇偶數(shù)位上的數(shù)字相差9-1＝8， 奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。所以例3相當(dāng)于求最后三位數(shù)191除以11的余數(shù)。