四年級奧數(shù)基礎(chǔ)第二十九講：抽屜原理（一）

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　　四年級奧數(shù)基礎(chǔ)第二十九講：抽屜原理（一）

　　如果將5個(gè)蘋果放到3個(gè)抽屜中去，那么不管怎么放，至少有一個(gè)抽屜中放的蘋果不少于2個(gè)。道理很簡單，如果每個(gè)抽屜中放的蘋果都少于2個(gè)，即放1個(gè)或不放，那么3個(gè)抽屜中放的蘋果的總數(shù)將少于或等于3，這與有5個(gè)蘋果的已知條件相矛盾，因此至少有一個(gè)抽屜中放的蘋果不少于2個(gè)。

　　同樣，有5只鴿子飛進(jìn)4個(gè)鴿籠里，那么一定有一個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)了2只鴿子。

　　以上兩個(gè)簡單的例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理就是“抽屜原理”，也叫“鴿籠原理”。

　　抽屜原理1：將多于n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。

　　說明這個(gè)原理是不難的。假定這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件，那么每一個(gè)抽屜中的物品或者是一件，或者沒有。這樣，n個(gè)抽屜中所放物品的總數(shù)就不會超過n件，這與有多于n件物品的假設(shè)相矛盾，所以前面假定“這n個(gè)抽屜中，每一個(gè)抽屜內(nèi)的物品都不到2件”不能成立，從而抽屜原理1成立。

　　從最不利原則也可以說明抽屜原理1。為了使抽屜中的物品不少于2件，最不利的情況就是n個(gè)抽屜中每個(gè)都放入1件物品，共放入n件物品，此時(shí)再放入1件物品，無論放入哪個(gè)抽屜，都至少有1個(gè)抽屜不少于2件物品。這就說明了抽屜原理1。

　　例1某幼兒園有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同的小朋友？

　　分析與解：1996年是閏年，這年應(yīng)有366天。把366天看作366個(gè)抽屜，將367名小朋友看作367個(gè)物品。這樣，把367個(gè)物品放進(jìn)366個(gè)抽屜里，至少有一個(gè)抽屜里不止放一個(gè)物品。因此至少有2名小朋友的生日相同。

　　例2在任意的四個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有兩個(gè)數(shù)，它們的差能被3整除？

　　分析與解：因?yàn)槿魏握麛?shù)除以3，其余數(shù)只可能是0，1，2三種情形。我們將余數(shù)的這三種情形看成是三個(gè)“抽屜”。一個(gè)整數(shù)除以3的余數(shù)屬于哪種情形，就將此整數(shù)放在那個(gè)“抽屜”里。

　　將四個(gè)自然數(shù)放入三個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里放了不止一個(gè)數(shù)，也就是說至少有兩個(gè)數(shù)除以3的余數(shù)相同。這兩個(gè)數(shù)的差必能被3整除。

　　例3在任意的五個(gè)自然數(shù)中，是否其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)？

　　分析與解：根據(jù)例2的討論，任何整數(shù)除以3的余數(shù)只能是0，1，2。現(xiàn)在，對于任意的五個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)，于是可分下面兩種情形來加以討論。

　　第一種情形。有三個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，即這三個(gè)數(shù)除以3后具有相同的余數(shù)。因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)的余數(shù)之和是其中一個(gè)余數(shù)的3倍，故能被3整除，所以這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。

　　第二種情形。至多有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那么每個(gè)抽屜里都有數(shù)，在每個(gè)抽屜里各取一個(gè)數(shù)，這三個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)分別為0，1，2。因此這三個(gè)數(shù)之和能被3整除。

　　綜上所述，在任意的五個(gè)自然數(shù)中，其中必有三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。

　　例4在長度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，是否至少有兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米？

　　分析與解：把長度10厘米的線段10等分，那么每段線段的長度是1厘米（見下圖）。

　　

　　將每段線段看成是一個(gè)“抽屜”，一共有10個(gè)抽屜。現(xiàn)在將這11個(gè)點(diǎn)放到這10個(gè)抽屜中去。根據(jù)抽屜原理，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的點(diǎn)（包括這些線段的端點(diǎn)）。由于這兩個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)抽屜里，它們之間的距離當(dāng)然不會大于1厘米。

　　所以，在長度是10厘米的線段上任意取11個(gè)點(diǎn)，至少存在兩個(gè)點(diǎn)，它們之間的距離不大于1厘米。