四年級奧數(shù)基礎(chǔ)第十九講：乘法原理

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　　四年級奧數(shù)基礎(chǔ)第十九講：乘法原理

　　讓我們先看下面幾個(gè)問題。

　　例1 馬戲團(tuán)的小丑有紅、黃、藍(lán)三頂帽子和黑、白兩雙鞋，他每次出場演出都要戴一頂帽子、穿一雙鞋。問：小丑的帽子和鞋共有幾種不同搭配？

　　分析與解：由下圖可以看出，帽子和鞋共有6種搭配。

   

　　事實(shí)上，小丑戴帽穿鞋是分兩步進(jìn)行的。第一步戴帽子，有3種方法；第二步穿鞋，有2種方法。對第一步的每種方法，第二步都有兩種方法，所以不同的搭配共有

　　3×2＝6（種）。

　　例2 從甲地到乙地有2條路，從乙地到丙地有3條路，從丙地到丁地也有2條路。問：從甲地經(jīng)乙、丙兩地到丁地，共有多少種不同的走法？

　　分析與解：用A1，A2表示從甲地到乙地的2條路，用B1，B2，B3表示從乙地到丙地的3條路，用C1，C2表示從丙地到丁地的2條路（見下圖）。

   

　　共有下面12種走法：

　　A1B1C1 A1B2C1 A1B3C1

　　A1B1C2 A1B2C A1B3C2

　　A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1

　　A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2

　　事實(shí)上，從甲到丁是分三步走的。第一步甲到乙有2種方法，第二步乙到丙有3種方法，第3步丙到丁有2種方法。對于第一步的每種方法，第二步都有3種方法，所以從甲到丙有2×3=6（種）方法；對從甲到丙的每種方法，第三步都有2種方法，所以不同的走法共有

　　2×3×2＝12（種）。

　　以上兩例用到的數(shù)學(xué)思想就是數(shù)學(xué)上的乘法原理。

　　乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，做第2步有m2種方法……做第n步有mn種方法，那么按照這樣的步驟完成這件任務(wù)共有

　　N＝m1×m2×…×mn

　　種不同的方法。

　　從乘法原理可以看出：將完成一件任務(wù)分成幾步做，是解決問題的關(guān)鍵，而這幾步是完成這件任務(wù)缺一不可的。

　　例3 用數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)三位數(shù)（各位上的數(shù)字允許重復(fù)）？

　　分析與解：組成一個(gè)三位數(shù)要分三步進(jìn)行：第一步確定百位上的數(shù)字，除0以外有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，有6種選法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，也有6種選法。根據(jù)乘法原理，可以組成三位數(shù)

　　5×6×6＝180（個(gè)）。

　　例4 如下圖，A，B，C，D，E五個(gè)區(qū)域分別用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色中的某一種染色，要使相鄰的區(qū)域染不同的顏色，共有多少種不同的染色方法？

   

　　分析與解：將染色這一過程分為依次給A，B，C，D，E染色五步。

　　先給A染色，因?yàn)橛?種顏色，故有5種不同的染色方法；第2步給B染色，因不能與A同色，還剩下4種顏色可選擇，故有4種不同的染色方法；第3步給C染色，因?yàn)椴荒芘cA，B同色，故有3種不同的染色方法；第4步給D染色，因?yàn)椴荒芘cA，C同色，故有3種不同的染色方法；第5步給E染色，由于不能與A，C，D同色，故只有2種不同的染色方法。根據(jù)乘法原理，共有不同的染色方法

　　5×4×3×3×2＝360（種）。

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