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四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)第十九講:乘法原理(2)

來源:大連奧數(shù)網(wǎng)整理 2012-02-07 17:16:34

  例5 求360共有多少個(gè)不同的約數(shù)。

  分析與解:先將360分解質(zhì)因數(shù),

  360=2×2×2×3×3×5,

  所以360的約數(shù)的質(zhì)因數(shù)必然在2,3,5之中。為了確定360的所有不同的約數(shù),我們分三步進(jìn)行:

  第1步確定約數(shù)中含有2的個(gè)數(shù),可能是0,1,2,3個(gè),即有4種可能;

  第2步確定約數(shù)中含有3的個(gè)數(shù),可能是0,1,2個(gè),即有3種可能;

  第3步確定約數(shù)中含有5的個(gè)數(shù),可能沒有,也可能有1個(gè),即有2種可能。

  根據(jù)乘法原理,360的不同約數(shù)共有

  4×3×2=24(個(gè))。

  由例5得到:如果一個(gè)自然數(shù)N分解質(zhì)因數(shù)后的形式為

   

  其中P1,P2,…,Pl都是質(zhì)數(shù),n1,n2…,nl都是自然數(shù),則N的所有約數(shù)的個(gè)數(shù)為:

 。╪1+1)×(n2+1)×…×(nl+1)。

  利用上面的公式,可以很容易地算出某個(gè)自然數(shù)的所有約數(shù)的個(gè)數(shù)。例如,11088=24×32×7×11,11088共有不同的約數(shù)

 。4+1)×(2+1)×(1+1)×(1+1)=60(個(gè))。

  例6 有10塊糖,每天至少吃一塊,吃完為止。問:共有多少種不同的吃法?

  分析與解:將10塊糖排成一排,糖與糖之間共有9個(gè)空。從頭開始,如果相鄰兩塊糖是分在兩天吃的,那么就在其間畫一條線。下圖表示10塊糖分在五天吃:第一天吃2塊,第二天吃3塊,第三天吃1塊,第四天吃2塊,第五天吃2塊。因?yàn)槊總(gè)空都有加線與不加線兩種可能,根據(jù)乘法原理,不同的加線方法共有29=512(種)。因?yàn)槊恳环N加線方法對(duì)應(yīng)一種吃糖的方法,所以不同的吃法共有512種。

   

  練習(xí)19

  1.有五頂不同的帽子,兩件不同的上衣,三條不同的褲子。從中取出一頂帽子、一件上衣、一條褲子配成一套裝束。問:有多少種不同的裝束?

  2.四角號(hào)碼字典,用4個(gè)數(shù)碼表示一個(gè)漢字。小王自編一個(gè)“密碼本”,用3個(gè)數(shù)碼(可取重復(fù)數(shù)字)表示一個(gè)漢字,例如,用“011”代表漢字“車”。問:小王的“密碼本”上最多能表示多少個(gè)不同的漢字?

  3.“IMO”是國際數(shù)學(xué)奧林匹克的縮寫,把這3個(gè)字母寫成三種不同顏色。現(xiàn)在有五種不同顏色的筆,按上述要求能寫出多少種不同顏色搭配的“IMO”?

  4.在下圖的方格紙中放兩枚棋子,要求兩枚棋子不在同一行也不在同一列。問:共有多少種不同的放法?

   

  5.要從四年級(jí)六個(gè)班中評(píng)選出學(xué)習(xí)和體育先進(jìn)集體各一個(gè)(不能同時(shí)評(píng)一個(gè)班),共有多少種不同的評(píng)選結(jié)果?

  6.甲組有6人,乙組有8人,丙組有9人。從三個(gè)組中各選一人參加會(huì)議,共有多少種不同選法?

  7.用四種顏色給下圖的五塊區(qū)域染色,要求每塊區(qū)域染一種顏色,相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問:共有多少種不同的染色方法?

   

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