四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)第二十五講：智取火柴
來源：大連奧數(shù)網(wǎng)整理 2012-02-27 13:50:46
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四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)第二十五講：智取火柴
在數(shù)學(xué)游戲中有一類取火柴游戲，它有很多種玩法，由于游戲的規(guī)則不同，取勝的方法也就不同。但不論哪種玩法，要想取勝，一定離不開用數(shù)學(xué)思想去推算。
例1桌子上放著60根火柴，甲、乙二人輪流每次取走1～3根。規(guī)定誰(shuí)取走最后一根火柴誰(shuí)獲勝。如果雙方都采用最佳方法，甲先取，那么誰(shuí)將獲勝？
分析與解：本題采用逆推法分析。獲勝方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒數(shù)第二次取時(shí)，必須留給對(duì)方4根，此時(shí)無論對(duì)方取1，2或3根，獲勝方都可以取走最后一根；再往前逆推，獲勝方要想留給對(duì)方4根，在倒數(shù)第三次取時(shí)，必須留給對(duì)方8根……由此可知，獲勝方只要每次留給對(duì)方的都是4的倍數(shù)根，則必勝�，F(xiàn)在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留給乙4的倍數(shù)根，而甲每次取完后，乙再取都可以留給甲4的倍數(shù)根，所以在雙方都采用最佳策略的情況下，乙必勝。
在例1中為什么一定要留給對(duì)方4的倍數(shù)根，而不是5的倍數(shù)根或其它倍數(shù)根呢？關(guān)鍵在于規(guī)定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在兩人緊接著的兩次取火柴中，后取的總能保證兩人取的總數(shù)是4。利用這一特點(diǎn)，就能分析出誰(shuí)采用最佳方法必勝，最佳方法是什么。由此出發(fā)，對(duì)于例1的各種變化，都能分析出誰(shuí)能獲勝及獲勝的方法。
例2在例1中將“每次取走1～3根”改為“每次取走1～6根”，其余不變，情形會(huì)怎樣？
分析與解：由例1的分析知，只要始終留給對(duì)方（1+6=）7的倍數(shù)根火柴，就一定獲勝。因?yàn)?0÷7＝8……4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍數(shù)，以后總留給乙7的倍數(shù)根火柴，甲必勝。
由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者獲勝的規(guī)定下，誰(shuí)能做到總給對(duì)方留下（1+n）的倍數(shù)根火柴，誰(shuí)將獲勝。
例3將例1中“誰(shuí)取走最后一根火柴誰(shuí)獲勝”改為“誰(shuí)取走最后一根火柴誰(shuí)輸”，其余不變，情形又將如何？
分析與解：最后留給對(duì)方1根火柴者必勝。按照例1中的逆推的方法分析，只要每次留給對(duì)方4的倍數(shù)加1根火柴必勝。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都將除以4余1的根數(shù)留給乙，甲必勝。
由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者為負(fù)的規(guī)定下，誰(shuí)能做到總給對(duì)方留下（1＋n）的倍數(shù)加1根火柴，誰(shuí)將獲勝。
有許多游戲雖然不是取火柴的形式，但游戲取勝的方法及分析思路與取火柴游戲完全相同。
例4兩人從1開始按自然數(shù)順序輪流依次報(bào)數(shù)，每人每次只能報(bào)1～5個(gè)數(shù)，誰(shuí)先報(bào)到50誰(shuí)勝。你選擇先報(bào)數(shù)還是后報(bào)數(shù)？怎樣才能獲勝？
分析與解：對(duì)照例1、例2可以看出，本例是取火柴游戲的變形。因?yàn)?0÷（1＋5）＝8……2，所以要想獲勝，應(yīng)選擇先報(bào)，第一次報(bào)2個(gè)數(shù)，剩下48個(gè)數(shù)是（1＋5＝）6的倍數(shù)，以后總把6的倍數(shù)個(gè)數(shù)留給對(duì)方，必勝。
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